|
wallace_artvin
|
geometri
geometri (veya Hendese), Matematiğin Uzamsal İlişkiler İle İlgilenen Alt Dalıdır. (eski Adı: Hendese. Yunanca Γεωμετρία "geo" (yer) Ve "metro" (ölçüm) Kelimelerinin Birleşiminden Türetilmiş Bir İsimdir.)
geometri, Arazi Ölçümü Sözcüklerinden Türetilmiştir. Herodot (i. Ö. 450), Geometrinin Başlangıç Yerinin Mısır Olduğunu Kabul Eder. Bu Nedenle Geometri Sözcüğü Mısır Kökenlidir. Kullanımı Da Eflatun, Aristo Ve Thales’e Kadar Gider. Yalnız Euclit Geometri Sözcüğünü Kullanmamıştır. O Bu Sözcük Yerine Elements Sözcüğünü Yeğlemiştir. Elements Sözcüğünün Yunanca Karşıtı Stoicheia Sözcüğüdür.
günümüzde Kullanılan Doğru, Yay, Işın, Açı Ortay, Kenar Ortay Gibi Birçok Temel Geometri Teriminin Türkçe'leri Mustafa Kemal Atatürk'ün Geometri Adlı Eserinde Yazılan Eserde Önerdiği Terimlerden Yararlanılarak Kullanılmaya Başlanmıştır.
birkaç Geometri Vardır. Bizim Günlük Yaşamda Bildiğimiz "lise Geometrisi"nin Adı Öklit Geometrisidir. Bu Geometrinin En Önemli Özelliği Paralellik Belitidir. Bu Beliti Sağlamayan Ama Geri Kalan Tüm Belitleri Sağlayan Geometrilere Öklit Dışı Geometriler Denir. Bunlara Örnek Olarak Hiperbolik Geometri Ya Da Küresel Geometri Örnek Verilebilir.
tarihi
ilk Geometrilerin Tümü, Kendi Doğası Nedeniyle Sezgiseldir. Bunlar Daha Çok İlk İnsanların Çevresinde Görünen Doğal Şekillerdir. Bu Geometriler Daha Çok Görsel Türdedir. İkinci Olarak Şekillerin Ölçülmesi Aşaması Gelir. Dörtgenlerin Ve Üçgenlerin Ölçülmesi İlk Kez Mısır’da Ahmes’in (i. Ö. 1550) Papirüsünde Görülür.
bu Papirüs M.ö. 1580 Talihinden Önce Yazılmıştır, B Tabanlı Ve H Yükseklikli İkiz Kenar Üçgenin Alanının Bh/2 Olduğu Verilmiştir.
yine Aynı Papirüste D Çaplı Bir Dairenin Alanının (d-d/9)2 Yazımına Eşdeğer Olduğu Yazılmıştır. Bu Yazımlara Göre Pi Sayısı Yaklaşık Olarak 3.1605 Dolaylarındadır. Bu Formül Geometrik Şekilden Yaklaşık Olarak Elde Edilmiştir.
bu Formül Babillilerde De Aynıdır. Bu Söylediğimizi Kanıtlayan Tabletler Vardır. Çin’in Yerli Geometrisi De Bu Türdedir. İ. Ö. 1100 Yıllarında Yazıldığı Sanılan Çinlilerin Ünlü Nine Sections (dokuz Bölüm) Kitabında Dik Açılı Üçgen Ve İspatsız Olarak Pisagor Teoremi Vardır. Daha Sonraki Çin Geometrilerinde Ölçümleri İçeren Çok Zeki Buluşlar Vardır. Yine Geometrik Görünümle Pisagor Teoreminin İspatı Yapılmıştır. Bu Geometrik Şekille Verilen Kitabın İ. Ö. 2000 Yıllarında Yazıldığı Sanılıyor.
hintlilerin Yerli Geometrilerinde De Matematiksel Bir İspat Yoktur. Daha Çok Görsel Ve Deneysel Ölçülere Dayanan Kuralları Vardır. Bunlar Da O Kadar İleri Bir Geometri Oluşturmaz. Bin Yıllık Bir Süre Boyunca Kullanılan Yunan Geometrisi İse Daha Çok Görseldir. Eski Roma Geometrisi Daha Çok Kullanım Alanlarına Yöneliktir.
arazi Ölçümleri, Şehir Yerleşimleri, Su Kanalları Ve Savaş Sanatında Geometriyi Romalılar İyi Kullanmışlardır. Fakat Bunlar Görsel Geometriyi Fazla Kullanmamışlardır. Zaten Görsel Geometrinin Kökeni Yunanistan’da Başlamıştır. Bu Çalışmalar İlk Kez Tha-lesin (i. Ö. 600) Yapıtlarında Görülür. Thales Bu Teoremleri Mezopotamya’da Ve Mısır’da Kullandıklarını Görür. Altı Teoremle Önderlik Eder Ve Bu Teoremlerin İspatlarını Yapar. Matematikte İspat Yapma Thales’le Başlamıştır. Thales’in Bu İspatları Zamanla Kaybolmuş Arma, Ondan Sonra Bunları Öğrenenler Gelecek Kuşaklara Aktarmıştır. Bin Yıl Süren Bu Görsel Yunan Geometrisi Zamanla Gerilemiş Ve Yeni Bir Çalışma Getirilmemiştir.
batı Avrupa’nın Uyanmasından Önceki Yüzyıla Kadar Yunan Kültürünü Ve Geometrisini Tam Olarak Müslümanlar Anlamıştır. Yunan Klasiklerini, Geometrilerini, Fen Bilimlerini Ve Felsefelerini Arapça’ya Çevirmişlerdir. Fakat Ne Euclit’in Ne De Apollonius’un Çalışmalarına Gerçek Ve Gözle Görünür Bir Katkı Ve Ekler Yapmamışlardır. Okullaşma Olmadığı İçin Gelecek Gençlere Bu Çeviriler Öğretilmemiş, Bu Kitaplar Sadece Neredeyse Bir Süs Olarak Sarayda Kalmıştır. Yaptıkları Hizmet, Kaybolmaya Yüz Tutmuş Yunan Klasik-ni, Matematiklerini Ve Düşüncelerini Arapça Çevirileriyle Avrupa’ya İletmişlerdir. Aslında Bu Da Bir Hizmet Sayılır.
avrupa’daki Karanlık Çağda Biri Boethius’un (510) Diğeri De Euclit’in (l Ö. 300) Sements İsimli Kitabı Vardı. Bunlardan Sonra Gerbert’in (1000) Ve Fibonacci’nin (1202) Geometrileri Sayılabilir, Ama Bu Geometriler İskenderiye Geometrilerinden İleri Bir Düzeyde Değildi. Avrupa’nın Geometrisine Yine 1482 Yılında İlk Baskısı Yapılan Euclit Geometrisi Oldu. Zaten Çok İyi Düzenlenmiş Ve Yazılmış Olan Bu Geometriler Avrupa’ya Hızla Yayıldı Ve Her Tarafında Bilinir Oldu. Euclit’in Geometrisinin Ardından Yavaş Yavaş Geometri Ürünleri Ortaya Çıkmaya Başladı, On Yedinci Yüzyılın Başlarında Analitik Geometri Ve 1639 Yılında Da Desargues’ın (1593-1662) İzdüşüm Geometrisi Basıldı. Analitik Geometri Descartes (1596 -1650) Ve Fermat (1601 -1665) Tarafından Aynı Dönemlerde Yapıldı. Fermat Yaptığı Çalışmaları Yayınlamadığı İçin Analitik Geometrinin Bulunması Onuru Descartes’e Verildi. Analitik Geometri Kısaca Geometri İle Cebir Arasındaki İlişkidir Diye Söyleyebiliriz. Geometri İle Cebir Arasındaki İlişkiyi İlk Kez Descartes Çıkardığı İçin Büyük Bir Matematikçi Olmuştur. Desargues’ın İzdüşüm Geometrisi Matematikçilerin Çok Dikkatini Çekmiş Ve On Dokuzuncu Yüzyılda Çıkacak Olan Geometricilere Coşku Ve Esin Kaynağı Olmuştur.
analitik Geometri Bulunduktan Sonra Apollonius’un (i. Ö. 262-190) Konikleri Sentetik Ve Analitik Olarak Yeniden İncelenmiştir. Sadece Konikler Değil, Eski Yunan Geometrisi Yeniden Analitik Olarak Gözden Geçirilmiştir. Sentetik Geometrinin Tüm Problemleri Bir Kezde Analitik Olarak Kanıtlanmıştır.
öklid Geometrisi
euclit Geometrisinin Temeli Nokta İie Başlar. Pisagorcular Noktayı Küçük Bir Zerre Olarak Tanımlamışlardır. Bu Tanım Aslında Aristo’dan (i. Ö. 340) Alınmıştır. Eflatun (i. Ö. 380), Noktayı Bir Doğrunun Başlangıcı Olarak Tanımlamıştır. Bu Kez Doğru Nedir Sorusu Karşımıza Çıkmaktadır. Altıncı Yüzyılda Yaşayan Simplicus, Uzunluğun Başlangıcı Ve Buradan Doğru Uzar. Ayrıca Bölünemez Diye Noktayı Tanımlamıştır. Hiçbir Parçası Olmayan İze Nokta Denir Tanımını Euclit (i.ö. 300) Yapmıştır. Heron (50) Da Aynı Sözcüğü Kullanmış, Noktayı Boyutsuz Bir Limit Veya Doğrunun Bir Limitidir Şeklinde Söylemiştir. Capella (460), Hiçbir Parçası Olmayan Şeye Nokta Denir Demiştir. Modern Yazarlar Noktayı Sanki Tanımlı Bir Limit Kavramıdır Diye Almışlardır. Dönemimizde De, Nokta Kabul Edilen Bir Kavramdır. Noktayı Kabul Ettikten Sonra İşler Kolaylaşır.
eflatuncular, Ensiz Uzunluğa Doğru Demişlerdir. Aynı Tanımı Euclit De Almıştır. Yani Noktanın Hareketinden Doğru Elde Edilir. Doğrunun Hareketiyle Yüzey Ve Yüzeyin Hareket İle De Hacim Oluşturulur. Bundan Sonra Doğru, Yarı Doğru, Doğru Parçası, Yüzey, Düzlemsel Yüzey, Açı, Çember, Daire, Çap, Yarıçap, Paralel Doğrular Ve Dik Doğrular Gibi Bir Dizi Geometrik Tanımlar Getirilmiştir.
ispatlanamayan Gerçeklere Aksiyom İsmi Verilir. Açıkça Görülen Fakat İspatlana-mayan Gerçeklere De Postülat Denir. Euciit’in Geometrisi Tanım, Aksiyom Ve Postülatlar Üzerine Kurulmuştur. Zaten Matematik Aksiyomatik Bir Düşüncedir. Belli Şeyleri Kabul Ederseniz: Onun Üzerine Matematiği Kurarsınız.
öklid'in Aksiyomları
şimdi, Euclit’in Beş Aksiyomunu Yazalım; 1. Aynı Şeye Eşit Olan Şeyler Eşittir,2. Eşit Şeylere Eşit Çokluklar Eklenirse Sonuç Yine Eşittir,3. Eşit Şeylerden Eşit Çokluklar Çıkarılırsa Sonuç Yine Eşittir,4. Birbirleriyle Çakışan Şeyler Birbirine Eşittir,5. Bütün, Parçalarından Büyüktür.
şimdi De Postülatlara Bazı Örnekler Verelim.
1. İki Noktadan Bir Doğru Geçer,
2. İki Nokta Arasındaki Sürekli Doğru Sonludur,
3. Bir Noktadan Eşit Uzaklıktaki Noktaların Geometrik Yeri Bir Çemberdir,
4. Tüm Dik Açılar Birbirine Eşittir,
5. İki Doğru Bir Doğru İle Kesildiğinde Kesenin Bir Tarafında Oluşan İki İç Açının Toplamı 180 Dereceden Küçükse, Bu İki Doğru Bu 180 Dereceden Küçük Açıların Bulunduğu Tarafta Kesişirler.
bu Postülatlar Daha Sonraki Yunanlı Bilginler Tarafından Çok İncelendi Ve Geliştirildi. Sidonlu Zeno (i. Ö. I. Yüzyıl) Farklı İki Doğrunun Ortak Bir Doğru Parçası Yoktur. Dördüncü Ve Beşinci Postulatların Birer Teorem Olduğu Yine İleri Sürülmüştür. Proclus (460) Dördüncü Postulatı Bir Teorem Olarak Almış, İspatlamaya Çalışmış Fakat Başaramamıştır. Bu Postülatın Tersinin Doğru Olmasının Gerekmediğini De İleri Sürmüş Ve Bunu İspatlamıştır. Saccheri (1773) Bu Postülatı Farklı Bir Yolla İspatlamıştır.
beşinci Postülat
matematikte En Çok Tartışılan Ve Önemli Olan Beşinci Postülattır. Bu Postülat Daha Çok Paralellik Postülatı Olarak Bilinir. Yani, Bir Doğruya Dışındaki Bir Noktadan Bu Doğruya Yalnız Bir Tek Paralel Çizilir İfadesi Beşinci Postülata Eşdeğerdir. Bu Nedenle Beşinci Postülat Daha Çok Bu İfadeyle Tanınır. Tarih Boyunca Bu Postülatı İspatlamak İçin Girişimlerde Bulunulmuştur. Bunlardan Önemli Girişimler Ptolemy (85 - 165), Nasirettin Eltusi (1200), Vvallis (1660), Saccheri (1733), Lambert (1766), Legendre (1794) Ve Diğerleri Tarafından Yapılmıştır.
playfair Postülatı
proclus’un Postulatına Bir Alternatif Playfair (1795) Getirilmiştir. Playfair’in Dünyaya Tanıttığı Postulat Da Şöyledir. Bir Doğruya Dışındaki Bir Noktadan Yalnız Bir Tek Paralel Çizilir. Ya Da Kesişen İki Doğru Bir Doğruya Ve Aynı Doğruya Paralel Olamazlar. Aslında Playfair’in Postulatı Pratik Olarak 1795 Tarihinden Önce Biliniyordu. Çünkü, Bu Postülatı Joseph Fenn, Euclit’in Elemenfs İsimli Kitabını 1769 Yılında Dublin’de Yayınladığında »azmıştı. O Da, İki Paralel Doğrudan Birini Kesen Doğru Diğerini De Keser Şeklindeydi. Proclus (460) Tarafından Verilen Bu Postülat Vvilliam Ludlam (1785) Tarafından Da Yazılmıştı. Zaten Bu İleri Sürülen Postülatların Tümü Euclit’in Elements İsimli Kitabının Birinci Cildinin Otuz Birinci Sayfasında Vardı. Yukarıdaki Yazarların Sunduğu Postülatlar Euclit’in Beşinci Postulatının Eşdeğer Söylenişleriydi.
ilkel Geometrinin Düzlemsel Geometri Problemlerinin Temelleri Euclit’in Elements İsimli Kitabında Vardı. İkiz Kenar Bir Üçgenin Taban Açıları Da Birbirlerine Eşittir. Euclit’in Birinci Kitabının Beşini Önermesi Olarak Geçen Bu Teorem, İlk Kez Thales (i. Ö. 600) Tarafından İspatlandığını Proclus (460) Söylemektedir. Yine Aynı Teoremin Farklı Bir Yoldan Pappus (300) Tarafından İspatlandığını Proclus Söylemektedir. Bu Teorem Ortaçağ Boyunca Matematikçilerin Dikkatini Çekmiş. Roger Bacon (1250) Da Bu Teoreme Değinmiştir.
thales’in Benzerlikleri
benzer Üçgenler Kavramı Thales (m.ö. 600) Ve Onun Öncesinden Başlamış, Eude-mus’la (m.ö. 335) Devam Etmiştir. Benzer Üçgenler Thales Tarafından Yanına Varılamayan Uzaklıkların Ölçülmesinde Kullanılmıştır. Bugün Orta Dereceli Okullarda Okutulan Thales Teoremleri Çok Sevilen Kurallardır. Yalnız, Yanına Varılamayan Uzaklıkları Ölçen İlkel Bazı Araçlar Babilliler Tarafından Yapılmıştır. Euclit, Babillilerin Bu Aletinin Karışık Bir Şekil Olduğunu Yazar. Bir Şekle Uydurup İspatını Da Veremez. Bu Şeklin İspatını Daha Sonraki Yüzyıllarda El Nairizi Yazarı Bilinmeyen Birinin Açıklamalarına Dayandırarak Verir Bunun En İyi Ürünlerini De Napolyon’un (1769 -1821) Matematikçileri Almıştır.
thales’in Benzerliklerini En İyi Ve Pratik Olarak Uygulamalarını Rönesans Yazarları Kullanır. Bunların En Güzel Şekillerini Belli’nin (1570), 1569 Yılında Yayınladığı Çalışmasında Görebiliriz.
sevdiklerimize Onları Sonsuza Kadar Seveceğimizi Söyleriz, Hatta Buna Biz De İnanırız. Oysa Sonsuz O Kadar Uzak Ki..- Sonsuzda Ne Biz Varız, Ne Dünya Var, Ne Güneş Var, Ne De Samanyolu Var. Tüm Kumsallardaki Tüm Kum Tanelerini Sayabiliriz. Ya Da Evrenin Bilinen Ölçüleri İçinde Kaç Tane Molekül Olduğunu Bile Hesaplayabiliriz. Bu Değerlerle Düşünmeye Başladığımız Zaman İçinde Yaşadığımız Zaman Diliminin Kıymetini Daha İyi Anlamaya Başlarız. Onun Ne Kadar Kısa, Ne Kadar Değerli Olduğunu Görürüz. Matematikçilerin Hayatı Seven Ama Ciddiye Almayan Yaklaşımlarında Bu Sonsuz Kavramıyla Haşır Neşir Olmalarının Bir Etkisi Var Mıdır Dersiniz?
peki, Bu Sayma İşlemlerinde Kullandığımız Sayıların Kendilerini Saymaya Kalkarsak? Kaç Tane Tam Sayı Vardır Dersiniz.? Elbette Sonsuz Tane. Bu Sonsuz Kavramını Kullanarak Ondan Daha Büyük Sonsuz Kavramları Da Düşünebiliriz, Örneğin: Bir Doğru Üzerindeki Herhangi İki Farklı Nokta Arasındaki Nokta Sayısı Daha Büyük Bir Sonsuz Değere Karşılık Gelir. İnsanoğlu Sonsuz Kavramına Ancak Kendini Tekrar Eden Ve Döngüye Giren Durumlarla Yaklaşabiliyor. Sonsuz Denince Akla Bu Kavramı Sanatta En İyi Biçimde Yakalayan Ünlü Grafik Sanatçısı Esher Geliyor. Birbirini Çizen Eller, Birbirine Dönüşen Varlıklar Ve İçine Girdiğiniz Zaman Sonsuza Kadar Çıkamayacağınız Resimler.
geometri Sözcüğü Dünya’nın Ölçümü Anlamına Gelir. Bu Bilim Dalı Başlangıçta Düzlemdeki Ve Uzaydaki Şekillerin İncelenmesini Konu Edindi. Adı Geçen Şekiller Somut Nesnelerden Türemelerine Karşın, Geometri Deneysel Yöntemlerin Kullanımını Çok Erken Bıraktı. İspat Öne Çıktı. Bunun Tersine, Şekilleri Gerçek Nesnelerin İdeal Biçimine İndirgemeye Çalıştı. Parçaları Olmayan Nokta, Bütün Noktalarda Kendine Benzeyen Doğru Ve Yüzeyler Birer Aksiyom Olarak Alındı. Öte Yandan Geometri, Gözlemi De Ölçmeyi De Kullanmayan Postülatlar Ve Sonuçlarla İşleyen Bir Kanıtlama Biçimine Başvurdu. Babilliler Ve Mısırlılarda Önceleri İspat Yoktu Ve Daha Çok Deneme Yöntemi Kullanılıyordu. Ama Thales (i. Ö. 626 - 545) Ve Euclides’le (i. Ö. 300) Gelen Geometri Tümüyle İspatlıydı.
descartes Ve Düzlem Geometrisi
cebirsel Yöntemlerin Etkinliğini Ve Gücünü Gösteren Descartes (1596 -1650), Her Tür Düzlem Geometri Problemini Bir Denklemler Dizisine İndirgedi. Yani Geometriyi Aritmetikleştirdi. Bu Dönemden Sonra, Sayısal Koordinatlara Dayanan Bir Gösterim Biçimi Kullanıldı Ve Şekilleri Fonksiyonlar Olarak Ele Aldı. Analitik Geometri Adı Verilen Bu Yöntem, Büyük Bir İlerleme Kaydetti. On Sekizinci Yüzyılda Üç Boyutlu Uzay Ve Yüzeyler Kuramını Da Kapsamına Aldı. Bununla Birlikte Bu Yaklaşım, Yanlış Olarak Birleşmiş Geometri De Denilen Arı Geometrideki Şekillerin Sezgisel Anlamından Uzaklaştı.
on Dokuzuncu Yüzyıl Boyunca, Rönesans’tan Beri Sanatçılar Tarafından Araştırılan Gösterim Tekniklerine, İzdüşümsel Geometri Sistemleştirilerek Matematiksel Bir İçerik Kazandırdı. Böylece, Bireşimsel Yaklaşımın Geri Dönüşüne Tanık Olundu. Çünkü, Fransız Matematikçi Poncelet (1788 -1867) Ve Chasles (1793 -1880), Şekilleri, Bazı Özelliklerini Koruyarak Değiştiren Dönüşümlerin Önemini Gösterdiler.
klasik Geometri Sadece Pergel Ve Cetvel Yapımı Üzerinedir. Ancak Daha Sonraları Bu Yapımın Soyut Cebirle Olan Bağlantısı Anlaşılınca Geometri İle Cebir Arasında Sınırlar Kaybolmaya Başlamıştır. Geometrideki Kilometre Taşları Şöyle Sıralanabilir. İsa’dan Önce Thales, Euclides. Apollonios, Archimedes İlk Akla Gelenlerdendir. Daha Sonra Descartes (1637), Desar-ques (1639), Lazer Carnot (1803), Jean Victor Poncelet (1822), Janos Bolyai (1823), Michei Chasles (1837), N. Lobaçevsky (1840), Bernard Riemann (1867), C. Fe1ix Klein (1872), David Hilbert (1899) Ve Albert Einstein (1921) Olarak Sayılabilir.
geometri'nin Kullanım Alanları
geometri Günlük Yaşamın Hemen Her Alanında Gereklidir. Geometride Uzunluk, Alan, Yüzey, Açı Gibi Kavramlar Bazı Nicelikleri Belirlemede Kullanılır. Geometri’nin En Çok İç İçe Olduğu Dallar Cebir Ve Trigonometri, Mimarlık, Mühendislikler (yol, Köprü, Yapı, Makine, Gemi Ve Uçak Yapımı; Maden, Su Ve Elektrik İşleri Gibi Bayındırlık Ve Zanaatla İlgili Teknik Çalışmalar, Vb.) , Endüstiryel Alanlar, Simülasyonlar, Bilgisayar Programları Ve Grafikleri, Sibertenik, Tasarım, Sanat Vb.dir Geometrinin Kullanılmadığı Meslek Ya Da Alan Yok Gibidir Desek Yerinde Olur.
|
